円周率や円周・面積の求め方など円に関すること

円 特集

円周率とは、円の直径に対する円周の長さの比率を指し、史上もっとも重要な数学定数です。特徴としては無理数、つまり循環することなく無限に続く数であることがあげられます。パソコンの登場により、現在では22兆桁を超える数は判明していますが、分かってないことも少なくありません。たとえば、続く数字に何らかの規則性があるか、それともまったくのランダムであるかすら判然としていないのです。

謎多き円周率の発見は、紀元前2000年頃までさかのぼります。粘土板に残された記録には、古代バビロニアの時代、すでに円周率に近い数値が使われていることが判明しました。その後、何千年にもわたる研究によって、多くの数学的業績がもたらされており、その功績は計り知れません。

現在でも、コンピューターの検査において、円周率の計算が用いられています。また、暗唱に挑戦する人も多く、2015年には7万30桁という記録が登場しました。これからも円周率は、数学者を中心に関心を集め続けることは間違いありません。

ちなみに円周率π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 ・・・・とこのように続いていきます。

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円の面積について説明します

円の面積を求めるには円を上下半分にして、ピザは切り分けるのと同じように、三角形にします。例えば、四等分に分ければ、円の上半分と下半分にそれぞれ4個の三角形ができます。それぞれの三角形を交互に並べると平行四辺形ができます。

平行四辺形の面積は底辺×高さです。円をいくつかの三角形に分けて平行四辺形にした底辺は円周の半分、高さは円の半径になります。円周は直径×円周率ですので、底辺は直径×円周率/2となります。その結果、円の面積は直径×円周率/2×半径になります。

この式でも正しいのですが、もう少し簡単な式にすることができます。直径は半径の2倍にですので、直径を半径×2に置き換えることができます。そうすると、円の面積は半径×半径×円周率となります。小学校の算数では円周率を3.14と置き換えることができるので、円の面積は半径×半径×3.14と算数の授業で習う公式になります。

算数は公式を暗記する勉強方法もありますが、公式を導くことができれば、公式の理解が増し、応用問題に対応しやすくなります。特に小学校の算数の公式は筆記だけでなく、実際に図面を作成して、目で見ながら理解することができます。円の面積であれば、円を紙で作成して、半分に切って、その上下半分を何等分かに分けて、それを交互に組み合わせると平行四辺形になることがわかります。そうすれば、円の面積の公式を忘れてしまっても、公式を導くことができます。

円周の求め方について説明します

円周の求め方は円の直径に決められた値を掛けたものです。この決められた値を円周率といいます。3.14から数字が無限に続く値になります。

求め方は円とその円に外接する多角形と内接する多角形を比較します。

例えば、直径1センチの円と外接する八角形、内接する八角形を比較します。外接する八角形の外周が一番長く、内接する八角形の外周が一番短く、円周の長さは二つの八角形の外周の間になります。外接する八角形の外周の長さは約3.31センチ、内接する八角形の外周の長さは約3.06センチとなり、直径が1センチなので、その間に円周率があることになります。

この多角形が増えれば増えるほど、外接する多角形の外周と内接する多角形の外周の差が縮まり、近似値を求めることができます。

多角形による求め方は少し高度な数式を使うため、小学校で学ぶには丸い輪を作り、直径を図ります。丸い輪の一か所を切り、直線にして長さを図ると直径×円周率であることがわかります。

扇形の面積の求め方について説明します

扇型とは、円の一部であると考えることができます。つまり、表題の答えは、その扇型の一片の長さを半径とした円の面積を求め、次にその図形が円の何割にあたるかを計算すれば求めることができます。

求める扇型の一片の長さをr、中心角をy°、円周率をπという記号で表すことにします。円の面積は半径の二乗とπをかけたものになりますので、まず、求めたい円の面積は「r×r×π」と表せます。次に、扇型が円の何割をしめるかを計算します。扇型の中心角はy°、円の中心角は360°ですから、これを式で表すと「y÷360」になります。ここまできたら、先ほど求めた円の面積にこの分数をかけるだけです。

中心角の角度が不明で、弧の長さが示されている場合でも、考え方は同じです。中心角の代わりに、その弧の長さが円周の何分の一かを調べればいいのです。円周は「直径×π」で表せます。そして、直径は半径の二倍、つまり「2π」です。「弧の長さ÷2π」を、先ほど求めた円の面積「r×r×π」にかけたものが答えになります。

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