偏差値・標準偏差

標準偏差 特集

高校受験や大学受験では、学生の学力や、志望する学校に合格する可能性があるかどうかが偏差値を用いて表されることが多いですが、これはいったいどのような指標なのでしょうか。

偏差値は、サンプルの中である標本値がどのあたりの位置にいるかを測るために用いられる数値で、偏差を標準偏差で割った数に10を乗じ、その後50を足して計算することができます。これを言い換えると、標本変数を平均値が50、標準偏差が10となるように正規化したものが偏差値と考えることができます。もとの標本が正規分布に近いほど、この値の統計としての利用価値が高くなります。

受験で用いられる偏差値は、各人の得点から平均点を差し引いた値が偏差となります。もし、試験の得点が平均点付近であれば偏差値は必ず50前後に、平均点と標準偏差の合計より高ければ必ず60を超えます。また、あまりに受験者の間でとった点数に偏りがあると、偏差値がマイナスになったり、逆に100を超えることもあります。

一般的に、大学や高校において難関といわれているところは偏差値が70以上となっています。試験でこの値を出すためには、受験者全体の上位から2.275%の集団の中にいる必要があります。これは、57万人あまりの学生が受験する大学入試センター試験にあてはめると、上位13,000人の中に含まれていなければならないことを意味します。

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標準偏差

標準偏差とはデータとなるいくつかの数値の散らばり具合を表した値です。散らばり具合が小さいと標準偏差は0に近づき、散らばりが具合が大きくなると標準偏差は大きくなります。

求め方は複雑ですが、4段階に分けて求めることができます。1番目に平均値を求めます。2番目に数値から平均値を引く偏差を求めます。3番目に偏差を二乗した平均である分散を求めます。4番目に分散のプラスの平方根を計算すると標準偏差になります。

例えば、データとなる数値を71、80、89の標準偏差を求めるとします。1番目は平均値を求めるので71、80、89を足して3で割ると80になります。2番目の偏差は71の場合、平均値80で引くと、マイナス9になります。同じように80と89はそれぞれ0と9になります。3番目は偏差を二乗するので、マイナス9、0、9の二乗は81、0、81になります。その数値の平均は81、0、81を足して3で割るので54が分散となります。4番目は54のプラスの平方根を求めると約7.4なので、標準偏差は約7.4になります。

71、80、89よりも散らばりが小さい77、80、83で同じように標準偏差を求めると約2.5になり、散らばりが小さい方が0に近くなることがわかります。

正規分布とは

正規分布とは、統計や統計学を理解する上で一番大切な確率分布です。ある出来事について、同じ条件下で得られたバラツキのある数値の発生頻度を調べると、中央値の発生頻度が最も多く、それを中心に対して左右対称で発生頻度が少なくなる事象を言います。グラフにすると、左右対称で平均値を中心にした釣り鐘型の曲線となります。

正規分布は、我々の生活でよく利用されています。理由としてまず挙げられるのは、社会現象・自然現象などの確率変数の度数分布をよく近似するからです。特に標本平均の分布は、データの数が多くなればなるほど正規分布に近付く性質があるため、データ数が多ければ正規分布を仮定する事もできます。

生活の中で用いられている例を挙げると、模試やテストなどの偏差値・工業製品や部品の品質管理・ある製品の売上高や生産高の分析などがあります。また、ある母集団の身長や体重の分布などを測定する時にも用いられます。自然界においても、雨量や雨粒の大きさの分布なども正規分布に近い挙動を示します。

特に正規分布の曲線で偏差値を表す場合、平均が50・標準偏差が10となっており、偏差値によってデータ毎の順位や集団の数をを把握する事ができます。

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